所有自然数之和为-1/12?

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论所有自然数之和为-1/12

的意义以及和黎曼Zeta函数的关系——给发散级数赋值的方法和拉马努金求和法的介绍

作者：周牧锋

摘要

拉马努金求和是给发散级数赋值的一个重要方法，在这种求和方式下的一个最经典的例子就是1+2+2...=-1/12

。这篇论文将重点讨论拉马努金求和的意义以及和黎曼Zeta函数的关系。最后会有拉马努金求和的几个例子和可以继续研究的地方。

当然，除了拉马努金求和外，还有切萨罗求和等其他求和方式，在这篇论文中不予讨论。

引言——除公理外所有的数学命题都需要证明。(除了数学中那种既不能被证实也不能被证伪的命题)

所以我先给出它的证明：

命题：级数

1+2+3...=-1/12

证明：我们先引入一个级数：

S=1-1+1-1+1-1+1......

要求S的值，先计算1-S，(算它是为了求s的值)

所以1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1......)

=1-1+1-1+1-1+1......=S

发现1-S=S

所以2S=1

解得S=1/2

现在我们引入第二个级数：

M=1-2+3-4+5-6+7......

我们计算2M：(这里进行错位相加)：

2M=(1-2+3-4+5-6+7......)

+) 0+ (1-2+3-4+5-6+7......)

等于1-1+1-1+1-1+1......

我们已经知道1-1+1-1+1...

=1/2

所以2M=1/2

解得M=1/4

现在引入第三个级数：

N=1+2+3+4+5+6+7......

我们计算N-M：(对齐，不错位)

N- M=(1+2+3+4+5+6+7......)

-) (1-2+3-4+5-6+7......)

等于4+8+12+16.....

提出公因数4，我们有：

4(1+2+3+4+5......)

所以N-M=4N

因为M=1/4

所以N-1/4=4N

解得N=-1/12

所以：级数1+2+3...=-1/12

证毕

这个证明是有错误的。

这个证明在计算S的值时出了错误。S这个级数是发散级数。我们知道，在无穷级数中，只有绝对收敛的级数才可以重新排列各项而不改变收敛的值。也就是说，对于非绝对收敛的无穷级数，不能任意更改求和次序。这也就是黎曼级数定理，也叫黎曼重排定理。这个证明中经常更改求和次序，而被更改的级数非绝对收敛。而且S是发散级数，不能求和。所以证明错误。的确，S这个级数在奇数项截断时等于1，在偶数项截断时等于0。连S都算错了，后面的也错了。这是最为人熟知的一种证明。其实还有另一种证明。

证明：

先引入函数f(x)=1+(x+x^2+x^3+x^4......)

对括号内进行因式分解，得：

f(x)=1+x(1+x+x^2+x^3+x^4......)

发现f(x)=1+f(x)x

所以f(x)=1/(1-x)

所以我们得到：

1+x+x^2+x^3+x^4......=1/(1-x)

把x=-1代入，得：

1-1+1-1+1-1+1......=1/2

......(参见上一个证明)

证毕

这个证明也有错误，看1+x+x^2+x^3+x^4...

它应该取|x|<1，不然这个级数发散。而-1不满足|-1|<1，所以不行。故证明错误。

其实函数g(x)=1/1-x是f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4

...的‘解析延拓’之后的函数，这是分析学中一个重要概念，主要目的在于扩大函数的定义域，但解析延拓之后的函数在原先定义域内的函数值和之后的要相同，还要保证解析延拓之后的函数处处可导。在下文我将介绍黎曼函数，黎曼函数其实有两种形式，一种是级数形式，另一种是解析延拓之后的形式。

正文：

在摘要中我提到了拉马努金求和法，指派一特定值予无限发散级数。尽管拉马努金求和不是传统的求和概念，其在探讨发散级数上极有用处。我把用处写在下面：

1. ‘给发散级数赋一个特定的值’是物理学中‘量子场论’的一套处理发散的方法。在量子场论中，常常要对一些量进行积分运算，而得到的结果往往都是无穷大，于是，人们普遍采取一种回避无穷大的态度，用一些方法，将无穷大从理论中减除掉。这个减除的过程被称为‘重整化’。这就涉及到给发散级数赋值的方法。它和物理学紧密相连。2. 数学的研究是永无止境的。一般情况下，我们会直接忽略发散级数，但是否发散级数是不是也有一些性质，我们还不知道呢？比如1+1/2+1/3+1/4+1/5......这就是著名的调和级数，它当然是发散的。对于它的发散证明有很多种，我是一种最短的：

命题：调和级数是发散的。

证明：求1+1/2+1/3+1/4+1/5......的和就是在求函数f(x)=1/x和x轴围成的面积。也就是求1/x在1到无穷上的积分

，其结果等于无穷，所以调和级数发散。

证毕

这个级数发散，按说我们应该忽略它，但它却有很大的用处，调和序列历来很受建筑师重视；这一点在巴洛克时期尤其明显。当时建筑师在建造教堂和宫殿时，运用调和序列为楼面布置和建筑物高度建立比例，并使室内外的建筑细节间呈现和谐的联系。现在的‘调和分析’也是以调和级数为基础延伸出来的。而1+2+3+4+5+6+7......和调和级数一样有规律，比如：1+3+4+2+35+235+9+3+6778......这个级数完全随机，是发散的，但确实没什么研究价值。但1+2+3+4+5+6+7......却不同。有一定规律。这也许也和调和级数一样，有很大的用处。只是它不像调和级数那样容易发现，需要一些‘加工’才能发现(给它一个特定的值)。

3. 人们在不断发现着新的数学。在这个过程中总要有一些敢于提出新的想法的人。如果人们一直不接受新的想法，认为数学就是按部就班的，什么东西‘违法’就不允许去做，那可能连根号2

都不会产生。最早毕达哥拉斯学派只承认有有理数，也就是能表示为两个整数之比的数。而他们有提出了勾股定理。于是自然就有根号2

的产生，虽然第一个发现它的人被扔进了大海，但是‘无理数’这个概念还是诞生了。

根号-1

存在吗？在我们所认识的实数中，他确实不存在，在虚数发现之前，使用它就和现在的给发散级数赋值的方法法一样，是‘违法’的。但是现在我们才知道复数的理论是合理的，我们用‘i’来表示根号-1，它可以和实数相加，在工程学，物理学也有很大的帮助，在数学上，以它为基础建立的‘复分析’就有极大的帮助。有些问题必须通过复分析才能解决，而它虽然需要虚数，但它也可以解决实数问题。但如果人们一直不承认虚数的存在，就不会有现在的成果。给发散级数赋值的方法就很像从实数到虚数的过程。

4. 最早提出所有自然数之和为-1/12的是欧拉，他用了自己的方法。在当时看上去很荒唐，但在50多年后的数学家黎曼用严格的复分析证明了其合理性。所以：所有自然数之和为-1/12是合理的。

5. 有很多数学家都在勇于探索一些未知的领域，想扩大人们的认知范围，看似他们的想法是错误的，但是他们的理论都可以自圆其说。他们的证明可能有错误，但是：它的对错取决于在什么理论体系下。如果数学家们发展了一套给发散级数赋值的方法，那欧拉的证明就是对的。而发展一套给发散级数赋值的方法在前文提到是有用的。

基于以上5条原因，我认为给发散级数赋值的方法是合理的，在我们现在的理论体系下可能是错误的，但是这套理论要是成立，那就是正确的。

以上是我对所有自然数之和为-1/12的解释。