收敛最快的计算π值的无穷级数

hegangben

2020-08-02 11:12·泗水亭长

计算π的级数公式很多，如：

莱布尼茨·格里高利公式

松木良粥公式

巴塞尔级数

拉马努金公式

拉马努金公式是非常优秀的计算π值的求和公式，级数收敛速度非常快。只取第一项（k=0）时，求得

这个π值的误差为
2.4326359540765016689829676388338110975035258086040985 × 10^-6%，已经与祖冲之给出的π值的精准度不相上下了。

如果用拉马努金公式前两项计算π值，得到

这个值等于
3.141592653589793877998905826306013094216645029322848879173...，与π之间的误差为2.03570714908646649107086911045582242579698 × 10^-14%，已经精确到小数点后面16位了！！！太厉害了！！！Great Ramanujan!!!

如果人类历史上曾经只出现了一位天才，那他就是拉马努金。拉马努金也是人类有史以来最伟大的民间数学家！

但是，拉马努金公式并不是收敛速度最快的计算π值的公式。目前人类发现的收敛最快的公式是德诺夫斯基（Chudnovsky）兄弟于1987年发现的级数公式：

德诺夫斯基公式

我们来验算一下这个公式精准度。求第一项得到：

这个值等于
3.1415926535897342076684535915782983407622332609157065...，与π的误差为-1.879008537989136807971384576442429133523631355929645... × 10^-12%，已经精确到小数点后面12位了。

根据德诺夫斯基前两项计算π值得：

这个值等于
3.1415926535897932384626433835873506884758663459963743156549058068013014505652035911058309102192909290815684364870868935674099610...

与π的误差为（百分比，(v-π)/π*100%）：

9.79909995418818919873729948629867084956823704974534837979014543276567845503551308368220862974682688196751857592495378572469760038975224700598708521902727686880059703928500553210478131047814773437362908241025687698684424551... × 10^-27%。

德诺夫斯基公式的收敛速度远远快于拉马努金公式。

人类不断挑战自我、追求极限的历程永远不会结束！！！

期待人类未来会发现更快的π值级数计算公式。